Meccanica lagrangiana
I principi della meccanica classica
Il lavoro virtuale e il
principio di D’Alembert
Principio di D’Alembert per un
sistema dinamico ed equazioni di Lagrange
Il
principio della minima azione
i principi della meccanica classica
❍ Primo principio
In assenza di forze, ogni corpo
isolato persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. Se
definiamo la quantità di moto come il prodotto del vettore velocità per la
massa si può scrivere:
p = m ⋅ v = k
dove k è una costante.
❍ Secondo principio
La variazione della quantità di
moto di un corpo è proporzionale alla forza applicata ed avviene nella
direzione e nel verso di tale forza. La forza viene implicitamente definita
come la variazione della quantità di moto:
Se consideriamo la massa della
particella come costante (ciò che è vero per velocità non relativistiche)
possiamo scrivere:
m ⋅ a = F
dove
a è il vettore che esprime la derivazione della velocità del corpo rispetto al
tempo.
Tanto
più grande è la massa della particella, tanto più piccola è l’accelerazione. La
massa può dunque essere interpretata come il coefficiente di cambiamento della
velocità di una particella a seguito della applicazione di una forza.
❍ Terzo principio
L’azione è sempre uguale alla
reazione, ovvero le forze che due particelle esercitano l’una sull’altra hanno
la direzione della linea che congiunge le due particelle, hanno lo stesso
modulo e verso opposto.
Viene postulata l’esistenza di un sistema
di riferimento in cui valgono i tre principi della meccanica, chiamato sistema
inerziale.
Dalla legge di inerzia segue che qualsiasi
sistema in moto relativo uniforme rispetto ad un sistema inerziale è a sua
volta un sistema inerziale.
I due sistemi sono legati dalle
trasformazioni di Galileo:
Le coordinate cartesiane della particella
sono due: x1 e x2, che costituiscono le componenti di un
vettore posizione x(x1 , x2).
Se le particelle che costituiscono il
sistema sono tutte libere si ha un sistema libero; altrimenti un sistema
vincolato.
Si definiscono vincoli olonomi quelli che
possono essere espressi nella forma:
f(x1,x2) = k
e cioè sotto forma di rapporti tra le
coordinate della particella.
I vincoli che non possono essere espressi
in tale forma sono detti vincoli anolonomi.
I sistemi soggetti a tali vincoli sono chiamati
sistemi olonomi.
I vincoli sono visti come forze che
agiscono sulle particelle limitandone la mobilità. Queste forze sono dette
forze vincolari o reazioni vincolari. Le altre forze agenti che non derivano da
vincoli sono dette forze attive.
L’analisi classica consideriamo sistemi
inerziali.
Supponiamo di avere un sistema
bidimensionale formato da una particella puntiforme di massa m che si muove
lungo una curva ascendente di equazione x2 = x12
e che è sottoposta ad un campo gravitazionale uniforme i cui vettori sono
paralleli all’asse y e con verso contrario.
Il vincolo del nostro esempio è un vincolo
olonomo. Infatti, il vincolo risultante dal fatto che la particella si può
muovere solo lungo la curva ascendente è esprimibile con la formula:
x2 = x12 +
kt
e cioè:
–x12 –kt + x2
= 0
La presenza del vincolo fa sì che le
coordinate cartesiane siano in realtà dipendenti l’una dall’altra: il sistema
ha quindi non due, ma un grado di libertà.
Un modo più economico di esprimere la
posizione della particella è quello di coordinatizzarla con coordinate
indipendenti, che prendono il nome di coordinate generali o coordinate
lagrangiane dal nome di J.L. de Lagrange, che le introdusse.
Non esiste un solo modo per scegliere le
coordinate lagrangiane, ma piuttosto infiniti. Noi sceglieremo come coordinata
lagrangiana il valore di x1, dal quale si può immediatamente
calcolare il valore di x2.
Usualmente, per distinguere dalle
coordinate cartesiane, indicate con xi, le coordinate lagrangiane
vengono indicate con qi.
Poiché la particella è in movimento, le
coordinate lagrangiane, come le coordinate cartesiane, sono funzioni di t, e andrebbero
scritte come x1(t) e q1(t). In quanto tali esse possono
essere derivate rispetto al tempo.
Esiste una precisa corrispondenza tra
coordinate lagrangiane e coordinate cartesiane. Abbiamo dunque delle equazioni
di trasformazioni di coordinate:
x1
= x1(q1,…,qn)
x2
= x2(q1,…,qn)
La jacobiana di questa trasformazione deve
avere rango pari ai gradi di libertà.
Proseguendo nel nostro esempio, essendoci
solo la coordinata q1 scriviamo:
x1 = x1(q1)
x2 = x2(q1)
e cioè:
[0708091855] x1
= q1
[0708091855] x2
= q12 + kt
Il vincolo che abbiamo introdotto è un vincolo
dipendente dal tempo, perché le espressioni mostrano che il piano inclinato si
trasla in alto con moto uniforme.
Il sistema ha anche delle condizioni
iniziali q10, x10, x20
che sono utilizzate per integrare le equazioni differenziali che esprimono e
condizioni del sistema in un momento di tempo t qualsiasi.
Quando vi sono più particelle, con relative
velocità, l’esposizione si limita alle equazioni della singola particella, in
cui compare l’indice i per indicare appunto particella "i-esima",
mentre per le coordinate lagrangiane si utilizza l’indice j.
Possiamo ora esprimere i vettori posizione
delle particelle come funzioni delle coordinate lagrangiane e del tempo:
x1 = x1(q1 ,
t)
x2 = x2(q1 ,
t)
La presenza di t non significa altro che
nelle [0708091855] il tempo compare come variabile. Questo indica una doppia
dipendenza di x2 dal tempo: in ogni tempo t il valore di q12(t)
va modificato di una quantità dipendente direttamente dal tempo, che non è
inglobata in q1.
Niente impedisce di considerare come
coordinata lagrangiana l’espressione x12 + kt : in questo
caso, terminologicamente, il vincolo non sarebbe dipendente dal tempo.
Supponiamo che la particella, sotto
l’effetto della forza gravitazionale, sia in movimento. Possiamo calcolare il
valore delle componenti x1’ e x2’ della velocità, ed esso
risulta:
[0708061900]
Essa non è altro che l’applicazione del chain rule o regola di derivazione delle
funzione composte:
[0708091906]
dove l’ultimo addendo si riduce chiaramente
a ∂x/∂t
Possiamo considerare un esempio
semplificato, lineare, che ci permette di interpretare meglio le derivate, in
cui il vincolo sia una retta con pendenza +2 che si sposta verso l’alto. Allora
si ha:
In questa formula le qi′ sono dette velocità generalizzate.
il
lavoro virtuale e il principio di d'alembert
Uno spostamento infinitesimo della
particella in una qualsivoglia direzione produce ovviamente un lavoro, che è
una quantità scalare data dal prodotto del modulo della forza per la componente
dello spostamento lungo il vettore della forza. Per ottenere il lavoro occorre
integrare lungo il percorso della particella il prodotto scalare del vettore
forza per il vettore tangente al percorso.
In un sistema sottoposto a vincoli si
definisce spostamento virtuale uno spostamento compatibile con i vincoli che,
nel caso si tratti di vincoli dipendenti dal tempo, vengono tenuti fermi a
partire dall'istante in cui inizia lo spostamento.
Si definisce spostamento reale uno
spostamento compatibile con i vincoli ed il loro eventuale movimento.
Se si considera un sistema sottoposto a
vincoli olonomi, gli spostamenti effettivi delle coordinate qi e
delle coordinate xi sono legati dai rapporti:
[0708092113]
mentre nel caso virtuale si ha la formula:
[0708092114]
Ovviamente, se i vincoli non dipendono dal
tempo, spostamento reale e spostamento virtuale coincidono, e si ha la [0708092114] .
Per
spostamenti infinitesimi si considera come se le forze cui è soggetta la
particella non siano soggette a cambiamento.
Uno spostamento virtuale si dice
spostamento reversibile o spostamento bilatero se anche il suo opposto è
virtuale.
Poiché la particella è soggetta a forze, ad
ogni spostamento virtuale corrisponde un lavoro virtuale, dato dalla formula:
[0708092119]
dove le Fi sono le componenti nella
direzione dello spostamento della forza attiva risultante che agisce sulla
particella e le Φi sono le
componenti nella direzione dello spostamento della forza reattiva risultante, e
le δi sono le componenti dello spostamento.
Nel caso di un sistema sottoposto a vincoli
senza attrito (vincoli lisci in cui la reazione vincolare è sempre normale al
vincolo) si possono eliminare le forze reattive dalla [0708092119], perché (si
consideri ad es. il caso della forza reattiva del piano inclinato) la forza
reattiva è sempre normale allo spostamento vincolato e l'unico altro lavoro
sarebbe il lavoro positivo compiuto dall'attrito.
Nel caso di un sistema con forze in
equilibrio, poiché la componente forza per definizione è eguale a zero (e la
forza non cambi a seguito dello spostamento della particella) il lavoro
virtuale è zero
Nel caso in cui invece esista una forza
attiva che agisce sulla particella (il che non vuol dire che la particella si
muova, né che il sistema non possa essere in equilibrio: si consideri il caso
di una perlina che è immobile sul fondo di una scodella, soggetta alla forza di
gravità) si può constatare che il lavoro è negativo.
Si consideri un sistema in equilibrio
soggetto a vincoli lisci; gli si dia uno spostamento virtuale; si calcoli il
lavoro virtuale utilizzando la [0708092119].
In tale calcolo può essere trascurato il
lavoro Φ ⋅ δxi delle forze
reattive, perché nel caso di vincoli lisci lo spostamento è sempre normale alla
forza vincolare.
Il
calcolo del lavoro virtuale si riduce quindi a:
[0708100551]
e cioè al calcolo del lavoro virtuale delle
forze attive.
Consideriamo l'esempio di un sistema in
equilibrio costituito da una particella vincolata ad una superficie liscia (non
necessariamente un piano) e calcoliamo il lavoro virtuale delle forze attive.
Se consideriamo il moving frame of reference della particella nella direzione
del moto possiamo considerare le componenti Ft, Fb, Fn
della forza rispettivamente lungo la tangente, la normale e la binormale.
Si ha
Fb ⋅ δxb = 0
perché
δxb è zero, in quanto spostamento non possibile perché normale
alla superficie.
Le
forze Ft e Fn devono essere pari a zero perché si
verifichi la condizione di equilibrio, e quindi si ha pure
Ft ⋅ δxt = 0
Fn ⋅ δxn = 0
Come si vede, il lavoro virtuale delle
forze attive è zero.
Consideriamo l'esempio di un sistema in
equilibrio costituito da una particella che in un piano verticale è vincolata a
rimanere all'interno di una circonferenza di raggio R (vale a dire che la
particella può trovarsi in qualsiasi punto all'interno della circonferenza e
non solo sulla circonferenza), sottoposta alla forza di gravità g.
L'unica posizione di equilibrio di tale
sistema è quella con la particella localizzata all'intersezione del diametro
verticale della circonferenza con la metà inferiore della stessa.
In questo caso possiamo considerare due
tipi di spostamenti virtuali: spostamenti reversibili, tangenti alla
circonferenza, e spostamenti non reversibili, in qualsiasi altra direzione: si
consideri ad esempio lo spostamento verticale: se è possibile salire non è però
possibile scendere, quindi lo spostamento opposto a quello ascendente non è
possibile per la presenza del vincolo.
Se facciamo spostare la particella di una
distanza infinitamente piccola lungo la linea tangente alla circonferenza
(spostamento invertibile) otteniamo un lavoro virtuale nullo, perché lo
spostamento è normale alla forza di gravità.
Se facciamo spostare la particella in
verticale (spostamento non invertibile) otteniamo un lavoro virtuale negativo
pari a
δx
⋅
m ⋅ g < 0
perché
la particella si muove in senso inverso alla forza di gravità agente.
Se ribaltiamo il principio, imponendo al
lavoro virtuale delle forze attive di essere inferiore o eguale a zero, si ha
la condizione di equilibrio.
Il principio dei lavori virtuali o
principio di D'Alembert stabilisce appunto che un sistema soggetto a vincoli
lisci è in equilibrio se e solo se il lavoro virtuale delle forze attive non è
mai positivo.
principio di d'alembert per un
sistema dinamico ed equazioni di lagrange
Anche un sistema dinamico può essere
analizzato in base al principio dei lavori virtuali: basta aggiungere alle
forze attive le forze di inerzia, opposte ai prodotti delle masse per le
accelerazioni.
In altre parole, ad ogni particella in moto
si associ, oltre alla forza attiva, una forza, la forza d'inerzia, data da:
– m ⋅ a
Tale espressione è l'inverso di quella che
compare nella:
[0708100636] m
⋅
a = F + R
dove
F sono le forze attive e R le forze reattive e che è la condizione che il
sistema deve verificare in ogni momento. Per
la [0708100636] possiamo quindi scrivere:
[0708100636] F
+ R – m ⋅ a = 0
Tale
equazione può essere interpretata come una condizione di equilibrio della
particella, e quindi si può applicare il principio dei lavori virtuali nella
forma:
[0708100638] (F
– m ⋅ a) ⋅ δx = 0
e cioè:
[0708100639] F
⋅
δx – m ⋅ a ⋅ δx = 0
dove
nuovamente abbiamo eliminato le forze reattive.
Cerchiamo ora di esprimere la [0708100638]
nei soli termini delle coordinate lagrangiane.
Lo
spostamento δx in termini delle qi può essere espresso come:
[0708100640]
Definiamo
poi Qj come:
[0708100641]
Per le [0708100640] e [0708100641] possiamo
scrivere il primo addendo della [0708100639] come:
[0708100642]
Per
quanto riguarda il secondo addendo della [0708100639],
ricordiamo anzitutto che, avendo eliminato la mobilità dei vincoli, la
variabile t sparisce dalla formula
[0708100737]
Possiamo
scrivere il secondo addendo della [0708100639]
come:
[0708100643]
Poiché è evidentemente:
[0708100741]
allora, con una semplice manipolazione
algebrica della [0708100741] si può scrivere:
[0708100742]
e quindi il il secondo addendo della [0708100639] diviene:
[0708100743]
Se consideriamo che è:
[0708100840]
e che è:
[0708100842]
e quindi:
[0708100843]
e che perciò è:
[0708100841]
allora possiamo scrivere il contenuto della
prima parentesi tonda della [0708100743] come:
[0708100745]
Per quanto riguarda l'addendo con segno
meno entro la parentesi quadra della [0708100743] si consideri anzitutto che è:
[0708100916]
Allora, poiché è:
[0708100918]
si ha:
[0708100924]
Perciò possiamo scrivere l'addendo con
segno meno come segue:
[0708100922]
Tutta la [0708100743] diviene dunque:
[0708100930]
Se indichiamo con possiamo scrivere la
[0708100930] nella forma:
[0708100934]
Tenendo conto della [0708100934] e della [0708100641]
la [0708100639],
che esprime il principio di D'Alembert, diviene:
[0708100936]
Dalla [0708100936] ricaviamo immediatamente
che deve essere:
[0708100939]
e cioè:
[0708100941]
Ipotizziamo ora che la forza agente sulla
particella sia una forza gravitazionale.
Tali tipi di forze sono dette forze
conservative, e sono legate alla esistenza di un campo scalare U (cioè di una
funzione definita su R3), detto campo di potenziale con cui
intrattengono la semplice relazione:
[0708101032] F
= – ∇U
dove
∇U indica il gradiente di U nel
punto occupato dalla particella. L’energia potenziale U dipende solo dalle
coordinate di posizione, e quindi in particolare dalle qi e non
dalle velocità generalizzate qi′.
Se le forze attive agenti sono forze
conservative allora nella [0708100941] si può sostituire la [0708101032]
ottenendo:
[0708100942]
Poiché
la variazione dx per una variazione unitaria di qi è e tale spostamento,
moltiplicato scalarmente per le componenti del gradiente (cioè per le componenti
della forza) dà un lavoro che rappresenta la variazione del potenziale U,
possiamo scrivere:
[0708101034]
e quindi:
[0708101035]
Scriviamo ora la [0708100941]
tenendo conto della [0708101035]:
[0708101043]
da cui:
[0708101044]
da cui:
[0708101045]
da cui, tenendo presente che, poiché U non
dipende dalle velocità qi′, si ha , e quindi tale termine può essere introdotto
dove si vuole e col segno che si vuole:
[0708101046]
da cui:
[0708101047]
Introduciamo ora la funzione lagrangiana o
semplicemente lagrangiana del sistema, ponendo:
[0708101057] L = L(qj , qj′, t) = T – U
La lagrangiana non è altro che la
espressione delle energie cinetica T e potenziale U non in termini di xj
ma in termini di qj calcolata in un sistema inerziale. Vedi più
avanti esempi di calcolo della lagrangiana.
Tenendo presente la lagrangiana, la
[0708101047] diviene:
[0708101049]
che prende il nome di (i-esima) equazione
di Lagrange.
il principio della minima azione
La descrizione lagrangiana di un sistema
meccanico è alquanto differente da quella newtoniana. Non ci si focalizza sulla
evoluzione del sistema a partire da condizioni date, ma sulla evoluzione del
sistema tra due momenti di tempo t1 e t2 separati da un
intervallo infinitesimo.
La descrizione lagrangiana mostra che in
tale intervallo di tempo il sistema muta in modo da minimizzare il valore
dell’integrale:
[0708101308]
dove L è appunto la lagrangiana relativa
alla i-esima particella.
Il valore dell’integrale [0708101308] è
chiamato la azione corrispondente ad una particolare traiettoria qi(t)
seguita dalla i-esima particella. Si parla in proposito di principio di minima
azione.
Usando il calcolo delle variazioni la
condizione che un dato integrale abbia un minimo sulla funzione qj(t)
è trasformato in una equazione differenziale per qj(t). Se la
lagrangiana è scelta correttamente, il principio della minima azione si traduce
in equazioni differenziali che sono equivalenti alle corrette equazioni
newtoniane per forza e accelerazione.