|
Inverse function theorem e implicit functioni theorem |
Sia una funzione f :
V ⊂ Rn à Rn di classe Cm
(m ≥ 1) su un insieme aperto V di Rn.
Se il determinante della matrice jacobiana è
diverso da zero in un punto x0 in V allora esiste un intorno
S(x0) contenuto in V tale che:
▸ La restrizione di f a S(x0) è iniettiva
▸ L’immagine f(S(x0)) di S(x0) è un insieme
aperto
▸ L’inversa f-1
di f è di classe Cm su f(S(x0))
Una funzione può essere localmente invertibile o iniettiva in ogni punto
(inverse function theorem) ma non essere globalmente invertibile o iniettiva.
Sia f : U ⊂ Rn à Rm (m ≤ n) una funzione differenziabile; sia P
un punto appartenente ad U e supponiamo che f(P) = C e che il rango della
jacobiana di f nel punto P sia m (per comodità supponiamo che le m colonne
finali della jacobiana siano linearmente indipendenti). Se P = (p1,…,pn)
sia P1 = (p1,…,pn-m) e P2 = (pn-m+1,…,pn)
cosicché P = (P1,P2).
Allora esiste un insieme aperto V in Rn – m contenente
P1, una funzione differenziabile ϕ : V à Rm, un insieme aperto W di U contenente P tale che ϕ(P1) = P2 e
f–1(C) ∩ W = {(X, ϕ(X)) : X ∈ V} = grafo(ϕ)
Così, localmente,
ogni insieme di livello è un grafo.
Per chiarire quanto
sopra, si pensi ad una funzione f : R3 à R e ad una funzione ϕ : R2 à R che è rappresentata
tridimensionalmente come una superficie S in R3. Dato un punto P ∈ R3 con la
jacobiana di rango 1 e con f(P) = 0 allora esiste un intorno sferico W di P che
la proiezione (x,y,z) ↦ (x,y) porta in un
intorno V in R2 tale che le terne di punti della superficie S le cui
coordinate x,y sono in V rappresentano il grafo della funzione ϕ ma anche l’insieme di livello f–1(0) ∩ W, cioè
la porzione di superficie S contenuta nell’intorno sferico W è anche la
porzione dell’insieme di livello f–1(0) = f–1(f(P)) contenuta
in tale intorno sferico W.