La formula di Taylor per funzioni reali di variabile reale e per funzioni multivariate

Per evitare ingombranti denominazioni, nel prosieguo parleremo rispettivamente di funzioni R ➙ R, funzioni R ➙ R^m, funzioni Rⁿ ➙ R e funzioni Rⁿ ➙ R^m anche se tecnicamente esse potrebbero essere definite solo su un sottoinsieme dello spazio euclideo indicato come dominio.

Molti autori seguono la regola che se il simbolo di funzione non è in grassetto e l’argomento è in grassetto si tratta di una funzione R^m ➙ R, mentre, se anche il simbolo di funzione è in grassetto si tratta di una funzione R^m ➙ Rⁿ

▸ Le funzioni componenti di una funzione Rⁿ ➙ R^m

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Data una funzione f : Rⁿ ➙ R^m, essa può essere rappresentata come una m-pla di funzioni componenti f_i : Rⁿ ➙ R:

y₁ = f₁(x₁, …, x_n)

………………….

y_m = f_m(x₁, …, x_n)

in modo che si abbia:

f(x₁,…,x_n) = (f₁(x₁,…,x_n), …, f_m(x₁, …, x_n))

I rapporti tra le funzioni componenti ed f sono molto importanti:

▸ La funzione f è continua se e solo se le funzioni componenti sono continue

▸ La derivata della funzione f nella direzione del vettore v è costituita dalla enopla delle derivate delle funzioni componenti:

D_vf = (D_vf₁, …, D_vf_m)

▸ Funzioni lineari e multilineari

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Una funzione f : Rⁿ ➙ R^m è una funzione lineare se si ha:

f(a ⋅ v + b ⋅ w) = a ⋅ f(v) + b ⋅ f(w)

dove v,w ∈ Rⁿ e a,b ∈ R

La linearità non è da confondere con la multilinearità. Una funzione multilineare è una funzione g : Rⁿ x … x Rⁿ che manda k vettori di Rⁿ in R^m e tale che la funzione è lineare rispetto ad ogni vettore della k-pla:

g(u, v, a ⋅ w₁ + b ⋅ w₂, x, y) = a ⋅ g(u, v, w₁, x, y) + b ⋅ g(u, v, w₂, x, y)

▸ Funzioni lineari e matrici

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Una funzione f : Rⁿ ➙ R^m è lineare se e solo se esistono numeri a_ij, i = 1,…,m, j = 1,…,n, tali che le funzioni componenti f₁,…,f_m di f sono date da:

f₁(x) = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n

f₂(x) = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n

……………………………………

f_m(x) = a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n

La funzione f è determinata completamente dalla matrice A = (a_ij) e può scriversi sotto forma di moltiplicazione matriciale:

f(v) = A ∘ v

e cioè:

definizione di differenziabilità, differenziale, derivata, derivata parziale, derivata direzionale

▸ (funzioni R ➙ R) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata

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Una funzione f è una funzione derivabile in un punto x₀ se si può scrivere:

f(x₀ + ∆x) – f(x₀) = f′(x₀) ⋅ ∆x + o(∆x) (∆x ➙ 0)

dove per o(∆x) (notazione di Landau) si intende una funzione α tale che

In altre parole, trascurando gli infinitesimi superiori al primo, l’incremento di f è dato dalla funzione lineare in ∆x:

φ(∆x) = f′(x₀) ⋅ ∆x

La funzione lineare che approssima l’incremento ∆x è chiamata differenziale della funzione f in x₀.

Equivalentemente, la funzione f è differenziabile in x₀ se si ha:

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata direzionale, derivata parziale

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Sia f : A ⊆ Rⁿ ➙ R una funzione definita su un aperto A di R e sia x₀ interno ad A. Si dice che f è una funzione differenziabile in x₀ se esiste una funzione lineare L : Rⁿ ➙ R per cui si abbia:

f(x₀ + ∆x) – f(x₀) = L(∆x) + o(∥∆x∥)

dove una funzione φ è detta essere o(∥∆x∥) se è:

Per funzione lineare si intende una funzione f : Rⁿ ➙ R tale che, dati gli scalari a_i e i vettori v_i si abbia:

f(v₁, …, a_i ⋅ v_i + b_i ⋅ w_i, …, v_n) = a_i ⋅ f(v₁, …,v_i, …, v_n) + b_i ⋅ f(v₁,…, w_i, …, v_n)

La funzione L è definita univocamente dalla condizione di differenziabilità e prende il nome di differenziale di f in un punto x₀ ed è anche simboleggiata con df_x0, mentre il simbolo Df_v(x₀), viene normalmente riservato alla derivata direzionale (vedi più avanti).

A volte L viene detta differenziale totale per distinguerla dai differenziali parziali d_x1f, …, d_xnf, che sono le derivate parziali, meglio indicate con ∂f/∂x_i, D_xif, f_xi.

La funzione L è detta parte principale dell’incremento ∆f = f(x₀ + ∆x) – f(x₀) e la funzione φ si dice essere un infinitesimo di ordine superiore (al primo) rispetto a ∥∆x∥.

In trattazioni più avanzate il differenziale è definito come una funzione dallo spazio tangente di un punto x₀ del dominio allo spazio tangente del punto f(x₀) del codominio.

Alcuni autori distinguono il "differenziale della funzione in un punto x₀" dal "differenziale della funzione f" senza altre specificazioni, che è la funzione Rⁿ ➙ L(Rⁿ ➙ R) che per ogni punto p di Rⁿ fornisce il differenziale df_x0, dove L(Rⁿ ➙ R) è lo spazio vettoriale delle funzioni lineari Rⁿ ➙ R.

Equivalentemente, una funzione f è differenziabile se esiste una funzione lineare L tale che si ha:

Equivalentemente, una funzione f è differenziabile se esistono le derivate parziali i-esime, date da:

ed esiste una funzione lineare di tali derivate parziali (talvolta simboleggiata con ∇f ⋅ ∆x) tale che sia:

dove è

Equivalentemente, una funzione f è differenziabile se esiste una matrice mxn (nel caso Rⁿ ➙ R la matrice è una matrice-riga di dimensione 1xn) tale che sia:

dove "∘" è una moltiplicazione matriciale e dove è

Tale matrice è chiamata da taluni derivative.

Equivalentemente, vengono dapprima definite le derivate parziali, date da:

se le derivate parziali esistono e sono continue, allora l’espressione costituisce la parte principale dell’incremento totale della funzione e si definisce differenziale totale e differisce da ∆f di un infinitesimo di ordine superiore rispetto a ∥∆x∥.

Se consideriamo Df(x₀)(v) come una funzione che fornisce la derivata direzionale nella direzione di un vettore v, troviamo che non sempre è una mappa lineare: questo avviene solo se f è una funzione differenziabile; allora la funzione che fornisce la derivata ha la forma di un differenziale df(x₀), cioè di una mappa lineare che approssima la funzione f(x) – f(x₀). Nel caso di non-differenziabilità, invece, esiste la mappa Df(x₀) che fornisce la derivata, mentre non esiste il differenziale df(x₀)

Al differenziale df si contrappone l’incremento ∆f della funzione; per valori infinitesimi di ∆x si ha df ≃ ∆f.

Data una funzione f : Rⁿ ➙ R^m, la funzione che associa ad ogni punto p ∈ Rⁿ la funzione lineare df_p : Rⁿ ➙ R è una forma differenziale (lineare).

Una forma differenziale lineare su Rⁿ è un polinomio omogeneo di primo grado nelle componenti di un vettore dx:

che varia da punto a punto. Considerando dx come argomento, tale polinomio rappresenta in ogni punto una funzione lineare Rⁿ ➙ R. Una forma lineare può essere identificata con le n funzioni continue che in ogni punto forniscono i valori a_k.

Non tutte le forme differenziali lineari sono forme differenziali di una funzione. Se, data una forma differenziale lineare definita in un aperto A ⊆ Rⁿ esiste una funzione f di classe C¹ le cui derivate parziali k-esime forniscono il k-esimo coefficiente a_k della forma, allora si dice che la funzione f è una primitiva o un potenziale della forma, e la forma stessa si dice esatta.

Chiamiamo ogni vettore unitario v ∈ Rⁿ una direzione in Rⁿ. La derivata direzionale di f in x₀ nella direzione v è il limite:

Alcuni autori considerano un vettore v qualsiasi (anche non unitario) e chiamano derivata direzionale nella direzione di v il limite ottenuto considerando tale vettore.

Le n derivate parziali di f non sono altro che le derivate direzionali rispetto alle basi standard di Rⁿ:

e₁ = (1, 0, …, 0)

e₂ = (0,1,0, …, 0)

………………….

e_n = (0, …, 0, 1)

le basi standard di Rⁿ sono quelle che esprimono un vettore con coefficienti che coincidono con le componenti del vettore:

v = (v₁, …, v_n) = e₁ ⋅ v₁ + e₂ ⋅ v₂ + … + e_n ⋅ v_n.

Le derivate parziali sono date dal limite: .

Si vede come si tratti della derivata della funzione R ➙ R ottenuta facendo variare la variabile x_i e tenendo le rimanenti variabili x₁, …, x_i–1, x_i+1, …, x_m fisse.

Esse verranno indicate con o anche con D_if(a) = D_e_if(a):

Se la funzione f è differenziabile, allora le derivate parziali e in genere le derivate direzionali sono date dal differenziale:

D_vf(a) = df_a(v) = L(v)

Come già detto sopra, il fatto che una funzione abbia tutte le derivate direzionali in un punto non implica che sia derivabile in tale punto, se D_vf(a) ≠ L(v) allora la funzione D_v(x₀) non è una funzione lineare e f non è differenziabile.

Ad es. la funzione ha tutte le derivate direzionali nel punto x₀ = (0,0), ma la funzione D_v(x₀) non è una funzione lineare, e quindi l’immagine di R² nella funzione L non forma un piano tangente il punto a.

Se la funzione f è differenziabile, allora le derivate direzionali sono una combinazione lineare delle derivate parziali:

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R^m) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata direzionale, derivata parziale

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Se esiste una trasformazione lineare L : Rⁿ ➙ R^m tale che

[0812181947]

allora diciamo che f è una funzione differenziabile in b.

Equivalentemente, una funzione f è una funzione differenziabile se esiste una applicazione lineare L : Rⁿ ➙ R^m tale che si abbia:

[0812181948] f(x₀ + h) – f(x₀) = L(h) + o(∥h∥) per h ➙ 0

La formula [0812181948] è l’equivalente della formula [0812181947], perché la funzione o(∥h∥) è precisamente la funzione f(x) – f(x₀) – L(x – x₀), che, come si vede, ha limite zero rispetto ad ∥h∥ per h ➙ 0

L’applicazione L, univocamente determinata dalle condizioni [0812181947] o [0812181948] viene chiamata il differenziale della funzione f in x₀. Si scrive anche L = f′(x₀).

Nella formula [0812181947] il limite zero non è uno scalare ma un vettore, perché la quantità rappresentata dalla frazione è un vettore appartenente al codominio di f. Che è lo stesso che dire che il limite φ(h)/ ∥h∥ relativo alla funzione φ(h) = o(∥h∥) nella formula [0812181948], anche se il denominatore è scalare, è un limite vettoriale.

Alcuni autori distinguono il "differenziale della funzione in un punto x₀" dal "differenziale della funzione f" senza altre specificazioni, che è la funzione Rⁿ ➙ L(Rⁿ ➙ R^m) che per ogni punto p di Rⁿ fornisce il differenziale df_x0, dove L(Rⁿ ➙ R^m) è lo spazio vettoriale delle funzioni lineari Rⁿ ➙ R^m.

Equivalentemente, data una funzione f : Rⁿ ➙ R^m, esiste una funzione lineare D_x0f : Rⁿ ➙ R^m tale che per ogni intorno N della mappa lineare zero in L(Rⁿ ; R^m), c’è un intorno N′ di zero ∈ Rⁿ tale che se t ∈ N′ allora

f(x+t) – f(x) = D_x0f(t) + A(t)

per qualche A ∈ N.

Equivalentemente, la funzione f : Rⁿ ➙ R^m è differenziabile in a sse ognuna delle sue funzioni componenti f₁, …, f_n è differenziabile. In tal caso il differenziale di f è dato da:

df_a = (df_a¹, …, df_aⁿ)

La derivata direzionale di f in x₀ nella direzione del vettore v è il vettore:

In pratica si tratta del vettore velocità γ_v′(0) : della curva

γ_v : R ➙ R^m : h ↦ f(x₀ + h ⋅ v)

con γ_v(0) = x₀

La derivata direzionale nella direzione di un versore base è chiamata la derivata parziale di f rispetto al k-esimo componente di x.

La matrice mxn della funzione lineare L nelle basi standard di Rⁿ ed R^m coincide con la matrice jacobiana delle derivate parziali, cioè la sua i-esima riga, j-esima colonna è la derivata parziale j-esima della funzione componente i-esima:

dove le f_i sono le n funzioni componenti Rⁿ ➙ R tali che f(x₁,…,x_n) = (f₁(x₁,…,x_n), …, f_m(x₁, …, x_n))

Da alcuni autori tale matrice mxn di L viene chiamata la derivata della funzione nel punto x₀ simboleggiata da f′(x₀).

Possiamo pertanto dire equivalentemente che la funzione f : Rⁿ ➙ R^m è differenziabile se esiste una matrice J di dimensione mxn tale che sia:

[0812191937] f(x₀ + h) – f(x₀) = J ∘ h + φ(h)

dove “∘” è la moltiplicazione matriciale e lim_h_➙₀ φ(h)/∥h∥ = 0

Si può dimostrare che se la funzione f è differenziabile, allora le derivate parziali e in genere le derivate direzionali sono date dal differenziale:

D_vf(a) = df_a(v)

Quindi, se una funzione è differenziabile, le derivate direzionali si ottengono applicando la matrice jacobiana al vettore di Rⁿ rispetto a cui è calcolata la derivata direzionale:

D_vf(a) = J ⋅ v

dove la moltiplicazione è il prodotto matriciale:

Essendo tale matrice, come detto, formata dalle derivate parziali, si vede, dalla formula matriciale sopra indicata, che le derivate direzionali nella direzione del vettore v = (v₁,…,v_n) sono esprimibili come combinazione lineare delle derivate parziali moltiplicate per le componenti v_i:

D_vf(a) = ∑₁_≤_j_≤_nv_jD_jf(a)

Possiamo dire equivalentemente che una funzione f : Rⁿ ➙ R^m è differenziabile se esistono le derivate parziali ed esiste una funzione lineare con coefficienti dati dalle derivate parziali che approssima f(x₀ + h) – f(x₀) a meno di infinitesimi superiori al primo per h ➙ 0.

Possiamo dire equivalentemente che una funzione f : Rⁿ ➙ R^m è differenziabile se e solo se esistono e sono continue le derivate parziali delle funzioni componenti, perché in tal caso esiste una mappa lineare L : Rⁿ ➙ R^m tale che:

f(a + h) = f(a) – L(h) + R(h)

con lim_h_➙₀ R(h)/|h| = 0

(si noti che 0 è un vettore)

Tale mappa lineare può essere visualizzata come:

f(h) =

dove il vettore approssima f(x + h) – f(x) a meno di infinitesimi superiori al primo per h ➙ 0.

▸ (funzioni tra spazi vettoriali normati) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata direzionale, derivata parziale

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Sia f : U ⊂ E ➙ F una funzione tra spazi vettoriali dotati di norma, dove U è un aperto in E. Diciamo che f è una funzione differenziabile in un punto x₀ se esiste una funzione lineare L : E ➙ F tale che sia:

dove ∥⋅∥ rappresenta la norma nello spazio appropriato.

La mappa L viene detta il differenziale di f nel punto x₀.

La mappa

Df : U ➙ L(E,F) : u ↦ Df(u)

(dove L(E,F) è lo spazio delle funzioni lineari tra E ed F) è il differenziale di f.

▸ (funzioni tra spazi affini) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata direzionale, derivata parziale

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Data una funzione f : X ➙ X' tra spazi affini, una derivata di f in x₀ ∈ X è una funzione lineare D_x0f : T_x0X ➙ T_f(x0)X' tra gli spazi tangenti rispettivamente ad x₀ e ad f(x₀), tale che per ogni intorno della mappa lineare nulla in L(T_x0X ; T_f(x0)) c’è un intorno N' di 0 ∈ T_x0X tale che se t ∈ N' allora

d'(f(x+t),f(x)) = d'_f(x0)(D_x0f(t) + A(t))

per qualche A ∈ N.

Dove d' : X'xX' ➙ T è una funzione che porta una coppia di vettori di un insieme X in un vettore dello spazio vettoriale T associato allo spazio affine.

teoremi sui rapporti tra continuità e derivabilità

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R) Se una funzione è differenziabile in un punto è ivi continua

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R) Se una funzione possiede derivate parziali continue nell’intorno di un punto, è ivi differenziabile.

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R) La differenziabilità in un punto implica l’esistenza di tutte le derivate direzionali, ma non è vero in generale l’inverso.

▸ (funzioni R ➙ R) Se una funzione ha una derivata in un punto allora è continua in quel punto

(funzioni Rⁿ ➙ R^m) Non è sempre vero che una funzione che ha una derivata in un punto è continua in quel punto.

(funzioni r ➙ r) teoremi fondamentali del calcolo

▸ (funzioni R ➙ R) Integrale indefinito e teorema fondamentale del calcolo

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Una funzione A(x) è un integrale indefinito della funzione f(x) se quest’ultima ne costituisce la derivata. Abbiamo allora:

cioè (teorema fondamentale del calcolo) l’operazione di integrazione è l’inversa di quella di derivazione: integrando la derivata di A(x) si ottiene A(x)

▸ (funzione R ➙ R) Regola di De L’Hôpital

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Siano date due funzioni f(x) e g(x) e si supponga che

▸ Il quoziente f(x) / g(x) assuma in un punto x₀ ∈ ℝ^̅ la forma indeterminata del tipo 0 / 0 oppure ∞ / ∞

▸ f(x) e g(x) siano continue e derivabili in un intorno (destro, sinistro, bilatero) U₀ di x₀, x₀ escluso

▸ Sia g′(x) ≠ 0 per x ≠ x₀

▸ Esista, finito o infinito, il limite (destro, sinistro, bilatero):

Allora esiste anche il limite per x ➙ x₀ di f(x)/g(x) e coincide con ℓ

▸ (funzione R ➙ R) Teorema di Rolle

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Se una funzione f ∈ C⁰([a,b]) assume valori uguali agli estremi dell’intervallo [a,b] ed è derivabile in tutti i punti interni a tale intervallo, esiste almeno un punto ξ ∈ (a,b) in cui f′(ξ) = 0

▸ (funzione R ➙ R) Teorema di Cauchy o del valor medio

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Siano date due funzioni, f,g continue in un intervallo chiuso [a,b] e derivabili in (a,b). Allora esiste almeno un punto ξ ∈ (a,b) in cui:

g′(ξ) [f(b) – f(a)] = f′(ξ) [g(b) – g(a)]

Se si suppone inoltre che la derivata g′(x) non si annulli in tutto (a,b), risulta necessariamente g(b) ≠ g(a) (per il teorema di Rolle), e la relazione precedente si scrive:

▸ (funzione R ➙ R) Teorema di Lagrange

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Data una funzione f ∈ C⁰([a,b]) e derivabile in (a,b) esiste almeno un punto ξ ∈ (a,b) in cui:

o, equivalentemente:

f(b) = f(a) + f′(ξ) (b - a)

nozioni generali sulla formula di taylor

▸ Polinomio di Taylor e ordine di contatto tra due funzioni

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▸ Si dice che due funzioni f e g hanno contatto di ordine n in x₀ se la loro differenza è infinitesima di ordine superiore ad n in x₀

▸ Una funzione f e il suo polinomio di Taylor di ordine n centrato in x₀ hanno contatto di ordine n in x₀

Il polinomio di Taylor è l’unico ad avere tale contatto. Per questa caratteristica si chiama anche polinomio osculatore di ordine n di f in x₀

▸ Terminologia sulla formula di Taylor

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▸ Una espansione di Taylor che, a parte il resto, usa derivate n-esime si denomina polinomio di Taylor di grado n relativo alla funzione f e al punto x₀ (polinomio di Taylor di grado n relativo alla funzione f in x₀) (Polinomo di Taylor di grado n generato da f nel punto x₀).

Poiché, data una funzione f, esiste un solo polinomio di grado ≤ n le cui derivate in x₀ coincidono fino alla n-esima con quelle di f, il polinomio di Taylor dipende da n, f, x₀, x, pertanto viene indicato in vari modi:

P_n(f,x,x₀)

P_nf(x,x₀)

P_n(x,x₀)

P_n(x)

Noi utilizzeremo più frequentemente quest’ultimo simbolo

La funzione f(x) – P_n(x) si denomina resto n-esimo del polinomio di Taylor e viene indicata in vari modi:

R_n(x,x₀)

R_n(x)

dei quali noi utilizzeremo l’ultimo.

Taluni autori considerano il polinomio e il resto non funzioni di x, ma di h = x – x₀ e scrivono:

P_n(x – x₀)

R_n(x – x₀)

R_n(x,x₀) è infinitesimo di ordine superiore a (x – x₀)ⁿ

▸ L’operatore di Taylor di grado n è l’operatore T della formula:

P_n(x,x₀) = T_n(f)

Perciò il simbolo T_n(f) può essere utilizzato intercambiabilmente con quello del polinomio di Taylor

▸ Attenzione: serie di Taylor indica lo sviluppo della funzione facendo tendere il grado n di P_n(x,x₀) ad infinito, mentre formula di Taylor indica l’espansione di Taylor di un dato grado.

▸ Si trova in certi autori anche l’espressione espansione di Taylor di ordine n-esimo per indicare la formula comprensiva del polinomio di Taylor e del resto n-esimo.

(funzioni r ➙ r) formula di taylor

▸ (funzioni R ➙ R) Polinomio di Taylor di ordine n

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▸ La formula del polinomio di Taylor di ordine n per una funzione f : R ➙ R è la seguente:

dove f^(k)(x₀) è la derivata k-esima nel punto x₀.

In pratica, il termine , derivato k volte dà 1, mentre derivato un numero inferiore o un numero superiore di volte dà zero. Pertanto il polinomio di Taylor P_n(x – x₀) ha le derivate successive alla n-esima identicamente eguali a zero.

Aggiungiamo ora al polinomio di Taylor il resto, cioè una funzione R_n(x) = f(x) – P_n(x,x₀):

[0812112004]

Per la costruzione del polinomio di Taylor si ha:

[0812201905]

Se esiste la derivata n-esima in x₀, sarà dimostrato più avanti che è:

[0812112007]

e cioè:

[0812112008] (resto di Peano)

▸ Se invece, oltre alla derivata n-esima, supponiamo che la derivata (n +1)-esima esista nell’intervallo aperto (x₀,x), possiamo garantire l’esistenza di almeno un punto ξ ∈ h in cui risulti:

[0506281102]

e cioè:

[0506281103] (resto di Lagrange)

(funzioni r ➙ r) resto del polinomio di taylor

▸ (funzioni R ➙ R) Il resto di Peano

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Supponiamo che la funzione f sia dotata di derivate fino alla (n + 1)-esima nel solo punto x₀. Possiamo allora applicare ripetutamente la regola di De L’Hopital al rapporto

ottenendo, dopo n passaggi:

[0812061925]

Notiamo che é:

R_n⁽ⁿ⁾(x₀) = 0

Infatti, per la costruzione del polinomio di Taylor, questo ha le stesse derivate fino all’ordine n, e si può scrivere:

D_n(x₀)[ T_n + R_n ] = f⁽ⁿ⁾(x₀)

da cui:

f⁽ⁿ⁾(x₀) + R_n⁽ⁿ⁾(x₀) = f⁽ⁿ⁾(x₀)

da cui si vede che la derivata n-esima del resto n-esimo è zero. Questo fa sì che possiamo sommare R_n⁽ⁿ⁾(x₀) in qualsiasi punto della [0812061925] e quindi scrivere:

[0812061926]

Poiché è R_n⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) ed è:

[0812061935]

possiamo scrivere:

[0812061932]

da cui, sostituendo la [0812061932] nella [0812061925] otteniamo:

[0812061934]

da cui, per le proprietà dei limiti, possiamo scrivere:

[0812061936]

e cioè:

[0812061938]

e cioè:

[0702260738]

che è il resto di Peano nella sua prima forma.

Se scriviamo la [0702260738] come:

[0702260739]

notiamo che il primo addendo non è altro che il termine (n + 1)-esimo dello sviluppo di Taylor, togliendo il quale abbiamo il resto del polinomio di ordine (n + 1):

[0702260740]

Applicando passaggi analoghi al polinomio di Taylor e al resto di ordine (n – 1), e scrivendo

o(x – x₀) = α(x)

otteniamo facilmente:

[0702260741]

e poiché α(x) è infinitesima per x ➙ x₀ abbiamo:

[0702260742]

e quindi possiamo riscrivere la [0702260741] come:

[0702260743]

che è il resto di Peano nella seconda forma, che richiede solo che la funzione sia derivabile n volte in x₀ e non l’esistenza della f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀).

La condizione che f sia derivabile n volte implica che f^(n–1) esista in tutto un intorno di x₀.

▸ (funzioni R ➙ R) Il resto di Lagrange

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▸ Il resto di Lagrange

Si supponga che esista la (k +1)-esima derivata della funzione f : R ➙ R in ciascun punto dell’intervallo chiuso I con punto iniziale x₀ e punto finale x. Allora esiste un punto x₀ ≤ Ϛ ≤ x tale che

Questa formula è conosciuta come resto di Lagrange.

Se, in aggiunta, si ha |f^(k+1)(σ)| ≤ M per ogni Ϛ ∈ I allora è:

e inoltre:

in particolare tale formula vale se f^(k+1) è continua nel punto x₀, perché allora sarà necessariamente limitata da un qualche valore M su un intervallo aperto contenente x₀.

▸ Dimostrazione del resto di Lagrange

Invece di supporre che esista f⁽ⁿ⁺¹⁾ in x₀ (ipotesi da cui si ricava il resto di Peano) facciamo l’ipotesi che la derivata di ordine n + 1 esista nell’intervallo aperto (x₀,x) (dunque non necessariamente in x₀).

Dal teorema di Cauchy si deduce che, date f,g continue in un intervallo chiuso [a,b] e derivabili nell’intervallo aperto (a,b), se la derivata g′(x) non si annulla in tutto (a,b), esiste un punto ξ ∈ (a,b) in cui è:

[0702260738]

Tenuto conto che è:

[0703042029]

dato che i secondi addendi del numeratore e denominatore valgono zero, possiamo applicare ripetutamente la [0702260738] al secondo rapporto della [0703042029] ottenendo:

[0702260739]

Scriviamo il secondo rapporto della [0702260739] come:

[0703042033]

Il teorema di Lagrange dice che data una funzione f ∈ C⁰([a,b]) e derivabile in (a,b) esiste almeno un punto ξ ∈ (a,b) in cui:

Applicando il teorema di Lagrange alla [0703042033] possiamo garantire l’esistenza di almeno un punto ξ ∈ (x₀,x) in cui risulti:

[0703042035]

Poiché è:

[0703042037]

possiamo scrivere:

[0703042039]

e quindi, per la [0702260739]:

[0703042041]

e cioè il resto della formula di Taylor nella forma di Lagrange:

[0703042043]

▸ (funzioni R ➙ R) Altre forme di resto della formula di Taylor. Il resto di Cauchy.

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Supponiamo che f⁽ⁿ⁺¹⁾ esista in un intervallo aperto (h,k) contenente x₀ e che f⁽ⁿ⁾ sia continua nell’intervallo chiuso [h,k]. Scegliamo un x ≠ x₀ in [h,k]. Per fissare le idee supponiamo che sia x > a. Manteniamo x fisso e definiamo una nuova funzione F sull’intervallo [a,x] come segue:

[0812070529]

Si osservi che F(x) = f(x) e F(x₀) = T_nf(x;x₀), e dunque F(x) – F(a) = R_n(x). La funzione F è continua nell’intervallo chiuso [x₀,x] e derivabile nell’intervallo aperto (x₀,x). Se calcoliamo F′(t) tenendo presente che ognuno dei termini della somma che definisce F(t) è un prodotto, troviamo che tutti i termini si semplificano eccetto uno, e siamo condotti all’equazione:

[0812070538]

Sia ora G una qualsiasi funzione continua su [a,x] e derivabile su (a,x). Ad essa possiamo applicare il teorema di Cauchy e scrivere:

[0812070530]

per qualche c nell’intervallo aperto (x₀,x). Se G′ non si annulla in (x₀,x) ciò ci fornisce la seguente espressione per il resto:

[0812070543]

Possiamo esprimere l’errore in molte forme, con differenti scelte di G. Prendendo ad es. G(t) = (x – t)ⁿ⁺¹ otteniamo la forma di Lagrange:

[0812070546]

Prendendo G(t) = x – t otteniamo un’altra formula, detta forma di Cauchy del resto:

[0812070549]

Se G(t) = (x – t)^p, con p ≥ 1, otteniamo la formula

[0812070551]

▸ (funzioni R ➙ R) Se f⁽ⁿ⁺¹⁾ esiste allora la derivata (n+1)-esima del resto del polinomio di Taylor di grado n non è altro che f⁽ⁿ⁺¹⁾

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In pratica, il termine , derivato k volte dà 1, mentre derivato un numero inferiore o un numero superiore di volte dà zero.

Pertanto il polinomio di Taylor P_n(x – x₀) ha le derivate successive alla n-esima identicamente eguali a zero.

Questo implica altresì che se esiste la derivata f⁽ⁿ⁺¹⁾ allora è:

R_n⁽ⁿ⁺¹⁾ = f⁽ⁿ⁺¹⁾

perché per ipotesi il polinomio di Taylor di grado n ha nulle le derivate superiori alla n-esima.

▸ (funzioni R ➙ R) Il resto integrale

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Se f ∈ Cⁿ⁺¹ in un intervallo contenente x₀ si ha: col resto

▸ (funzioni R ➙ R) Se la derivata f⁽ⁿ⁾ è continua in x₀ allora il resto è un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad (x – x₀)

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Se la derivata f⁽ⁿ⁾ è continua in x₀ si ha

▸ Dimostrazione che è

Infatti è:

f(x) = P_n - R_n

ma anche

f(x₀) = P(x₀)

per cui

▸ Dimostrazione che è

Infatti si ha:

▸ Dimostrazione che è

Supponiamo che f sia derivabile in tutto un intorno di x₀. Applicando la regola di de L’Hopital si ha:

ammesso che quest’ultimo limite esista. Quindi, se f ammette derivata seconda in x₀ si ha:

da cui si ricava che:

Isolando il termine f(x) al primo membro si ottiene:

▸ Iterando il numero desiderato di volte lo stesso procedimento utilizzato per dimostrare che è si ottiene infine che, se esiste f⁽ⁿ⁾(x₀) è:

▸ (funzioni R ➙ R) Per la sua costruzione, il resto della formula di Taylor di grado n si annulla in x₀ assieme a tutte le sue derivate fino al grado n incluso.

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(funzioni r ➙ r) dimostrazione della formula di taylor

▸ (funzioni R ➙ R) La serie di Taylor dimostrata da Courant

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Invece di una dimostrazione rigorosa della formula di Taylor, partiremo dai seguenti presupposti:

▸ Che sia possibile esprimere funzioni del tipo:

(1) f(x) = c₀ + c₁x + c₂x² + …

mediante una legge che esprima i coefficienti c_i per mezzo della funzione f e delle sue derivate

▸ Che f(x) sia indefinitamente derivabile nel punto x₀

▸ Che una serie di potenze possa essere derivata termine a termine

In queste ipotesi, si possono determinare i coefficienti c_n dalla conoscenza del comportamento di f(x) nell’intorno di x = 0.

Sostituendo x = 0 nella (1) si ottiene:

c₀ = f(0)

Derivando la (1) si ottiene poi:

(2) f′(x) = c₁ + 2c₂x + 3c₃x² + …

Sostituendo di nuovo x = 0 si ottiene:

c₁ = f′(0)

derivando la (2) si ottiene:

(3) f″(x) = 2c₂ + 2‧3c₂x + … + (n–1) ‧ n ‧ c_nxⁿ^–² + …

Sostituendo x = 0 si ottiene

2!c₂ = f″(0)

Analogamente, derivando la (3) si trova

3!c₃ = f‴(0)

Ripetendo questo procedimento si trova la formula generale

Il risultato è la serie di Taylor:

▸ (funzioni R ➙ R) La formula di Taylor dimostrata da Citrini

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L’idea base della formula di Taylor è abbastanza semplice: se la retta tangente è una prima approssimazione di una data funzione, si può pensare che un’approssimazione migliore si ottenga considerando una parabola, o un polinomio di grado superiore; e se il coefficiente angolare della tangente è dato dalla derivata prima, i coefficienti dei termini di grado più elevato saranno legati alle corrispondenti derivate successiva di f, supposto che esistono. Siamo dunque indotti a cercare un polinomio (di un assegnato grado n) che assuma in un punto x₀ lo stesso valore e le stesse derivate (fino all’ordine n) di f.

La determinazione di tale polinomio è facile: basta notare che per ogni k ≥ 0 il polinomio

(1)

si annulla in x₀ assieme a tutte le sue derivate di ordine diverso da k.

Le derivate di ordine inferiore si annullano perché per j < k si ha:

Infatti, la derivata prima è:

la derivata seconda è:

eccetera, mentre il valore (x – x₀) è pari a zero per x = x₀.

Le derivate di ordine superiore si annullano, perché anche per esse x = x₀ rende il numeratore eguale a zero.

Invece la derivata k-esima è pari a:

e cioè assume identicamente il valore 1.

Dunque la combinazione lineare

è un polinomio di grado n per il quale risulta

Possiamo dunque associare associare ad una funzione f dotata di derivate fino all’ordine n il polinomio di Taylor di grado n:

(2)

relativo alla funzione f e al punto x₀

Si noti che T₁(x) coincide con la retta y = f(x₀) + f′(x₀)(x – x₀) tangente a y = f(x) in x₀. Invece y = T₂(x) si chiama parabola osculatrice a y = f(x) in x₀.

Se nella formula (2) poniamo x al posto di x₀ e x + h al posto di x possiamo scrivere in modo del tutto equivalente:

(3a)

(3b)

(3c)

che mostra il ruolo dei differenziali successivi nella costruzione del polinomio.

Il cosiddetto resto della formula di Taylor è rappresentato da:

(4)

Poiché T_n(x) assume in x₀ lo stesso valore di f(x), come pure ha in x₀ il valore delle derivate fino alla n-esima coincidente con quello di f(x), il resto R_n(x) è una funzione che si annulla in x₀ insieme a tutte le sue derivate fino all’ordine n, derivate che supporremo senz’altro continue in un intorno di x₀.

Inoltre si ha:

perché si ha:

e il polinomio T_n(x) ha grado n e quindi la sua derivata di ordine n + 1 è identicamente nulla (si provi a fare la derivata terza di x²: la derivata prima è 2x, la derivata seconda è 2 e la derivata terza è zero).

Supponiamo dapprima che la funzione f sia dotata della derivata (n+1)-esima nel solo punto x₀. Possiamo applicare ripetutamente la regola di De L’Hôpital al rapporto

ottenendo, dopo n passaggi, che

(funzioni r ➙ r) formula di taylor calcolata mediante una routine vba

▸ (funzioni R ➙ R) Formula di Taylor calcolata mediante una routine VBA

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Per calcolare in modo approssimato il valore del polinomio di Taylor in un punto x, si può utilizzare la seguente formula:

Public Function NewFormulaTaylorGrado3(DeltaX As Double, _

DerivataPrima As Double, _

DerivataSeconda As Double, _

DerivataTerza As Double,_

NumeroIntervalli As Double) As Double

Dim Contatore As Double

Dim derivata1 As Double

Dim derivata2 As Double

Dim derivata3 As Double

NewFormulaTaylorGrado3 = 0

derivata1 = DerivataPrima

derivata2 = DerivataSeconda

derivata3 = DerivataTerza

For Contatore = 1 To NumeroIntervalli Step 1

derivata2 = derivata2 + derivata3 * (DeltaX / NumeroIntervalli)

derivata1 = derivata1 + derivata2 * (DeltaX / NumeroIntervalli)

NewFormulaTaylorGrado3 = NewFormulaTaylorGrado3 + derivata1 * (DeltaX / NumeroIntervalli)

Next Contatore

End Function

In questa formula ∆x viene suddiviso in intervallini; per ciascuno di essi si determina il valore esatto della derivata seconda alla fine dell’intervallo a partire dalla derivata terza costante.

Il valore approssimato della derivata prima alla fine dell’intervallo è ottenuto supponendo che in tutto l’intervallo la derivata seconda sia costante ed eguale al suo valore massimo

Il valore approssimato della funzione alla fine dell’intervallo è ottenuto supponendo che in tutto l’intervallo la derivata prima sia constante ed eguale al valore massimo approssimato della derivata prima alla fine dell’intervallo.

Dati i seguenti valori arbitrari:

∆x = 5

f⁽¹⁾ = 6

f⁽²⁾ = 5

f⁽³⁾ = 4

(il valore delle derivate è quello in x₀) si ottiene un valore del polinomio di Taylor = 175,8333645882, molto vicino a quello esatto di 175,8333333333 ottenuto con la formula di Taylor vera e propria:

(funzioni r ➙ r) teoremi sulla formula di taylor

▸ (funzioni R ➙ R) Proprietà di linearità del polinomio (operatore) di Taylor

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Se c₁ e c₂ sono costanti, allora

T_n(c₁f + c₂g) = c₁T_n(f) + c₂T_n(g)

▸ (funzioni R ➙ R) Proprietà di derivazione del polinomio (operatore) di Taylor: La derivata di un polinomio di Taylor di f è un polinomio di Taylor di f′

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La derivata di un polinomio di Taylor di f è un polinomio di Taylor di f′; precisamente abbiamo:

(T_nf)′ = T_n-1(f′)

▸ (funzioni R ➙ R) Proprietà di integrazione del polinomio (operatore) di Taylor: L’integrale indefinito di un polinomio di f è un polinomio di Taylor di un integrale indefinito di f

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Taylor di f è un polinomio di Taylor di un integrale indefinito di f

L’integrale indefinito di un polinomio di Taylor di f è un polinomio di Taylor di un integrale indefinito di f. Più precisamente, se è:

allora abbiamo:

▸ (funzioni R ➙ R) Proprietà di sostituzione del polinomio (operatore) di Taylor

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Sia g(x) = f(cx) con c costante. Allora T_n(g(x;a)) = T_n f(cx;ca))

▸ (funzioni R ➙ R) Unicità del polinomio di Taylor

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Sia P_n un polinomio di grado n ≥ 1. Siano f,g due funzioni dotate di derivata di ordine n in 0 e supponiamo che

f(x) = P_n(x) +xⁿg(x)

Allora P_n è il polinomio di Taylor generato da f in 0.

(funzioni r ➙ r) formula di mac laurin

▸ (funzioni R ➙ R) Formula di Mac Laurin

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La formula di Taylor con punto iniziale x₀ = 0 prende il nome di formula di Mac Laurin.

Quando x₀ = 0 invece di "sviluppo di Taylor", e "polinomio di Taylor" si usano spesso i termini "sviluppo di McLaurin", "polinomio di McLaurin".

La formula si scrive nel modo seguente:

dove 0 ≤ θ ≤ 1

(funzioni rⁿ ➙ r) Formula di taylor

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R) Derivata direzionale iterata di ordine d di una funzione

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dove è:

o, equivalentemente

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R) Esempio di derivata iterata del terzo ordine di una funzione f : R³ ➙ R

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e cioè:

e cioè

che si può scrivere anche:

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R) Polinomio di Taylor di grado d di una funzione

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Scriviamo la formula di Taylor in termini di derivate di grado successivo e dei loro coefficienti:

e cioè, esplicitando la formula della derivata iterata:

Molti testi, utilizzando un’unica formula di sommatoria scrivono:

Il coefficiente si ricava da:

in cui il primo fattore è il coefficiente da moltiplicare alla derivata d-esima nella formula di Taylor, e il secondo fattore è il coefficiente della derivata d-esima come si ricava dalla formula di f^(d)

(funzioni rⁿ ➙ r) resto del polinomio di taylor

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R) Formula di Taylor col resto di Peano

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Lo sviluppo di Taylor di ordine m per una funzione di classe C^m nell’intervallo B(x₀,r) di x₀ ∈ Rⁿ è dato dalla formula:

[0812121408]

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R) Formula di Taylor col resto di Lagrange

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Sia f una funzione definita su un aperto U di Rⁿ ed ivi di classe C^k+1. Fissato in U un punto x₀ sia x₀+ h un altro punto di U tale che il segmento x₀x sia interamente in U. Abbiamo allora la formula [0812121550]

If f is a real-valued function of class C^{k + 1} on an open set containing the line segment L from a to a + h, then there exists a point ξ ∈ L such that:

[0812121550]

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R) resto integrale

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Se f è una funzione di classe C^k, con k ≥ 2, su un insieme aperto e convesso U ∋ 0 di Rⁿ, per ogni x ∈ U è:

[0812290840]

Dimostrazione. Se n = 1 e 1 ∈ U si ha:

Se n ≥ 1, poniamo ψ(t) = φ(tx) per x ∈ U e 0 ≤ t ≤ 1, e applichiamo a ψ il calcolo precedente. Tenendo conto che

si ottiene la formula del teorema.

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R) (resto integrale) Espansione di Taylor con resto integrale per funzioni C^∞

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Le funzioni C^∞ ammettono una espansione di Taylor del primo ordine integrale della forma che può essere scritta nella forma f = f(x₀) + ∑ c_i f_i.

▸ Formula di Taylor del primo ordine con resto costituito da integrali delle derivate prime > Dimostrazione

Consideriamo un punto x₀ del dominio di una funzione f : Rⁿ ➙ R, e, dato un altro punto qualsiasi x, denominiamo con v il vettore x – x_0.Definiamo la funzione R ➙ R:

g(s) = f(x₀ + s ⋅ v)

con 0 ≤ s ≤ 1

Ovviamente si ha:

g(0) = f(x₀)

g(1) = f(x₀ + v) = f(x)

Dal teorema fondamentale del calcolo si ha che:

[0702200738]

La derivata dg/ds si ottiene applicando il chain rule:

[0812311242]

in modo da ottenere:

[0812311241]

e cioè, poiché si ha :

[0812311247]

Pertanto possiamo scrivere la [0702200738] come:

[0702200740]

e cioè:

[0702200741]

Se poniamo:

possiamo scrivere la [0702200741] come:

[0702200742]

e cioè:

[0702200750]

▸ Dimostrazione che solo per le funzioni C^∞ esiste la espansione di Taylor integrale con gli integrali costituiti da funzioni di classe C^∞.

(Dimostrazione che è una funzione C^∞ )

Anzitutto, dimostriamo che se g è C^∞, anche g(sp) è C^∞. Infatti la composizione di funzioni continue è continua; g è una funzione continua, e s ⋅ p è continua se le sue funzioni componenti s ⋅ p₁, s ⋅ p₂, …, s ⋅ p_n sono continue. Le funzioni componenti sono continue perché sono lineari:

s ⋅ (k₁p + k₂q) = k₁ ⋅ s ⋅ p + k₂ ⋅ s ⋅ q

Applichiamo il seguente teorema: If h(p,s) is a C¹ function of (p,s) ∈ R^d+1 and k(p) = , then k is C¹ and

Da tale teorema ricaviamo subito che esiste, perché è di classe C¹.

Poiché per il teorema è:

possiamo porre:

e concludere che esiste, perché è C¹.

Reiterando il procedimento possiamo porre:

e concludere che esiste, perché è C¹.

Il procedimento può essere reiterato un numero infinito di volte, e mostra quindi che è C^∞.

Come si vede, un ruolo cruciale viene giocato nella dimostrazione dal fatto che g ∈ C^∞. Se g ∈ C^∞ l’espansione di Taylor:

scritta anche come:

avrà le g_i di classe C^∞.

Poiché si può dimostrare che è , resta dimostrato che qualsiasi tangente nel punto m è combinazione lineare dei coordinate vector fields.

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R) (resto integrale): Se la funzione è C^k il resto integrale della espansione di Taylor con integrali delle derivate di ordine n è C^k-n

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(funzioni r ➙ rⁿ) formula di taylor

▸ (funzioni R ➙ Rⁿ) Formula di Taylor

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La formula è:

[0506281045]

dove R_m(t,t₀) ha la proprietà:

[0506281046]

(funzioni rⁿ ➙ r^m) formula di taylor

▸ Il calcolo multivariato delle funzioni a valori vettoriali si basa sull’importante risultato che il limite di una funzione Rⁿ ➙ R^m è dato dai limiti delle funzioni componenti

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Il limite di una funzione Rⁿ ➙ R^m è dato dai limiti delle funzioni componenti

Sia F = (f₁,…,f_m) una funzione A ⊂ Rⁿ ➙ R^m, e sia p un punto di accumulazione per A. Allora: lim_x_➙_p f(x) = ℓ = (ℓ₁, …, ℓ_m) sse per ogni i = 1, …, m si ha lim_x_➙_pf_i(x) = ℓ_i

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R^m) Derivata direzionale iterata di ordine d

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La derivata direzionale iterata di ordine r di una funzione F : Rⁿ ➙ R^m è un vettore di R^m ciascun componente del quale è la derivata direzionale iterata di ordine k di una delle funzioni componenti:

D_v^(d)F = (D_v^(d)f₁, …., D_v^(d)f_m)

▸ (funzioni Rⁿ ➙ R^m) Polinomio di Taylor di ordine k

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Il polinomio di Taylor di grado d relativo ad una funzione a valori vettoriali è formato dai polinomi di grado d P¹_d, …, P^m_d delle singole funzioni componenti:

P_d(x₀,h) = ( P¹_d(x₀,h), …, P^m_d(x₀,h) )

(funzioni di variabile complessa) formula di taylor

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▸ Consideriamo, nel campo complesso, una serie di potenze del tipo:

[0812311856] a₀ + a₁z + a₂z² + …

dove i coefficienti a₀, a₁, … sono numeri complessi al pari della variabile indipendente z

▸ Sappiamo che se una serie di potenze converge per qualche valore di z non nullo e non converge per qualsiasi valore di z, esiste un numero positivo r tale che la serie data è convergente assolutamente in ogni punto interno al cerchio di raggio r e centro l’origine mentre non converge per alcun valore di z in modulo maggiore di r.

Tale cerchio chiamasi cerchio di convergenza della serie data, ed r chiamasi raggio di convergenza

Se una serie di potenze converge soltanto per z = 0, dicesi che il suo raggio di convergenza è nullo; se la serie converge per qualsiasi valore di z, dicesi che il suo raggio di convergenza è infinito.

Se il raggio di convergenza r della serie [0812311856] è diverso da zero, la serie converge totalmente (e quindi anche uniformemente) in ogni cerchio avente il centro nell’origine e raggio minore di r.

▸ Nei punti interni al cerchio di convergenza della [0812311856] la somma della serie è una funzione continua

▸ Consideriamo la serie derivata dalla [0812311856]:

[0812311857] a₁ + 2a₂z + 3a₃z² + …

Ragionamenti analoghi a quelli adoperati nel caso reale permettono di dimostrare che la serie [0812311856] e la sua serie derivata hanno lo stesso cerchio di convergenza

▸ Se la serie di potenze:

ha per raggio di convergenza r > 0, per ogni z in modulo minore di r, la f(z) è derivabile, e si ha:

▸ Se il raggio di convergenza della serie:

[0812311859]

è diverso da zero, la somma f(z) di tale serie è una funzione indefinitamente derivabile in ogni punto interno al proprio cerchio di convergenza; e le derivate di f(z) possono essere calcolate a partire dalla [0812311859] mediante successive derivazioni termine a termine:

[0812311900]

Ora, se nella [0812311859] e nella [0812311900] poniamo z = 0 otteniamo:

da cui risulta:

[0812311901]

in tutti i punti interni al cerchio di convergenza della serie.

Se una funzione f(z) della variabile complessa z è indefinitamente derivabile nell’origine, la serie di potenze [0812311901] si chiama serie di Mac Laurin.

▸ Le nozioni di raggio e cerchio di convergenza si pongono subito anche per le serie di potenze del tipo:

[0812311902]

essendo z₀ un numero complesso

Evidentemente le cose dette si trasportano immediatamente anche a queste serie.

In particolare, se il cerchio di convergenza della serie [0812311902] non si riduce al punto z₀ e se f(z) è la somma della serie, allora f(z) è continua e indefinitamente derivabile nell’interno del cerchio di convergenza; le sue derivate si possono ottenere mediante successive derivazioni per serie, e risulta altresì:

a₀ = f(z₀)

e quindi la [0812311902] diventa:

[0812311903]

Se una funzione f(z) della variabile complessa z è indefinitamente derivabile nel punto z₀ la serie [0812311903] è la serie di Taylor della f(z) relativa al punto iniziale z₀

Riassumendo, se il cerchio di convergenza della serie [0812311902] non si riduce al solo punto z₀, la [0812311903] è la serie di Taylor della propria somma.

Infine, se ricordiamo che nel campo complesso si è posto per definizione:

[0812311904]

[0812311905]

[0812311906]

convergendo le serie, a secondo membro, in tutto il piano complesso, possiamo, in virtù di quanto abbiamo visto, dire che le funzioni e^z, sin z, cos z, sono derivabili, e derivando termine a termine tali serie si ottiene:

D[e^x] = e^x

D[sin z] = cos z

D[cos z] = – sin z

come nel campo reale.

▸ Consideriamo serie del tipo:

[0812311907]

essendo z₀ un numero complesso.

Evidentemente le cose dette per la serie di Mac Laurin si trasportano immediatamente anche a queste serie.

In particolare, se il cerchio di convergenza della serie [0812311907] non si riduce al punto z₀ e se f(z) è la somma della serie, allora f(z) è continua e indefinitamente derivabile nell’interno del cerchio di convergenza; le sue derivate si possono ottenere mediante successive derivazioni per serie, e risulta altresì:

a₀ = f(0)

in modo che la [0812311907] diventa:

[0812311908]

Se una funzione f(z) della variabile complessa z è indefinitamente derivabile nel punto z₀, la serie [0812311908] è la serie di Taylor della f(z) relativa al punto iniziale z₀.

Sicché se il cerchio di convergenza della serie [0812311907] non si riduce al solo punto z₀, la [0812311907] è la serie di Taylor della propria somma.