LE CONICHE
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Questo documento verrà gradualmente completato entro il
2009
❍ Definizione usuale
delle singole coniche
❍ Definizione generale
geometrica delle coniche come sezioni
❍ Definizione
generale geometrica delle coniche mediante il concetto di eccentricità
❍ Definizione
generale algebrica delle coniche come equazioni di secondo grado
❍ Forme canoniche dell’iperbole
❍ Forme canoniche della
circonferenza
❍ Forme canoniche della
parabola
❍ Forme canoniche dell’ellisse
❍ Equazione esplicita di una
conica
❍ Espressione
della distanza di un punto da una retta
❍ Formule della
trasformazione di coordinate mediante traslazione
❍ Trasformazione di una
equazione di secondo grado a seguito di una traslazione
❍ Formule della
trasformazione di coordinate mediante rotazione degli assi
❍ Trasformazione
di una equazione di secondo grado a seguito della rotazione degli assi
❍ La eliminazione
del termine in xy nella equazione di secondo grado mediante una rotazione degli
assi
❍ Definizione usuale delle singole
coniche
L’iperbole è il luogo dei punti
la differenza delle cui distanze da due punti detti fuochi è costante.
La
circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso
detto centro
La
parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto
fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice
L’ellisse
è il luogo dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da
due punti fissi, detti fuochi
❍ Definizione generale geometrica delle coniche come
sezioni
Le
coniche sono le curve che rappresentano sezioni coniche, cioè che si ottengono
intersecando un doppio cono con un piano.
Se
il piano è perpendicolare all’asse del doppio cono si ha una circonferenza o un
punto
Se
il piano è parallelo all’asse del cono l’intersezione è un’iperbole
Se
il piano è parallelo ad una generatrice del cono l’intersezione è una parabola
Se
il piano interseca il cono non perpendicolarmente al suo asse con una linea
chiusa l’intersezione è un ellisse
Se
il piano passa per il vertice del doppio cono si hanno le coniche degeneri:
punto, coppia di rette intersecantesi o coppia di rette parallele.
❍ Definizione generale geometrica delle coniche mediante il
concetto di eccentricità
Dato
un punto P di una conica è costante il rapporto tra la distanza di P da un
punto fisso detto fuoco e la distanza da una retta fissa detta direttrice
Tale rapporto tra distanze prende
il nome di eccentricità e viene
denotato col simbolo “e”
▸ Le diverse coniche differiscono solo per la
loro eccentricità.
▸ Si ha un ellisse quando 0 < e < 1
▸ Si ha una parabola quando e = 1
▸ Si ha una iperbole quando e > 1
▸ Si ha una circonferenza quando e = 0, cioè
quando facciamo tendere all’infinito il denominatore dell’eccentricità,
costituito dalla distanza del punto P dalla direttrice.
❍ Definizione generale algebrica delle coniche come
equazioni di secondo grado
Data
una qualsiasi equazione di secondo grado completa di tutti i termini, del tipo:
ax2
+ by2 + cxy + dx + ey +f = 0
se tale equazione ha soluzioni
reali, il luogo dei punti le cui coordinate (x,y) soddisfano l’equazione
costituisce una conica reale (cioè non immaginaria)
Si
parla di coniche immaginarie (parabola immaginaria, ellisse immaginaria) per
indicare le coniche le cui equazioni non hanno per soluzioni coppie di numeri
(x,y) reali
Coniche
reali ed immaginarie coprono tutti i casi di equazioni di secondo grado
all’infuori delle equazioni di secondo grado che rappresentano due rette
parallele.
Tali equazioni non corrispondono ad alcuna sezione conica e
quindi, rigorosamente parlando, non sarebbero equazioni di una conica. Tuttavia
i matematici, per poter affermare che ad una equazione di secondo grado
corrisponde sempre una conica, le hanno comprese tra le coniche degeneri. Le altre coniche degeneri sono il punto e due
rette intersecantesi, che, a differenza di due rette parallele, sono
effettivamente sezioni coniche.
❍ Forme canoniche dell’iperbole
L’equazione canonica
dell’iperbole è quella dell’iperbole simmetrica rispetto agli assi cartesiani
L’iperbole simmetrica rispetto
agli assi cartesiani e con i fuochi che giacciono sull’asse delle ascisse ha
equazione:
L’iperbole simmetrica rispetto
agli assi cartesiani e con i fuochi che giacciono sull’asse delle ordinate ha
equazione:
Nell’equazione canonica
dell’iperbole, la costante a rappresenta la metà della distanza tra i vertici
dei due rami dell’iperbole, mentre la costante b è ricavata con la formula:
dalla costante a e dalla
costante c, che rappresenta la metà della distanza tra i fuochi
Gli asintoti dell’iperbole
simmetrica rispetto agli assi e con i fuochi che giacciono su uno degli assi
hanno equazione:
Quando l’asse trasversale
dell’iperbole risulta parallelo all’asse delle ascisse o delle ordinate si ha
la forma semiridotta:
In questo caso il centro si
trova nel punto C (h,k). Le lunghezze dell’asse trasversale e dell’asse
coniugato, la distanza tra i fuochi, la distanza tra il centro e una
direttrice, la lunghezza di un latus rectum, il coefficiente angolare degli
asintoti, l’eccentricità, sono gli stessi che nel caso della forma ridotta.
Quando l’angolo tra gli
asintoti è retto, si parla di iperbole equilatera. In questo caso, per
l’iperbole simmetrica rispetto agli assi e con i fuochi che giacciono su uno
degli assi si deve avere:
e cioè:
a = b
Le equazioni sono:
x2 – y2 =
a2
y2 – x2 =
a2
rispettivamente per l’iperbole
simmetrica rispetto all’asse y con fuochi sull’asse x e per l’iperbole
simmetrica rispetto all’asse x con fuochi sull’asse y.
Un’altra importante forma
dell’iperbole equilatera si verifica quando gli asintoti coincidono con gli
assi cartesiani (iperbole riferita agli assi). In questo caso la equazione
dell’iperbole prende la forma:
x ‧ y = k
che rappresenta la relazione di
proporzionalità inversa tra x e y.
❍ Forme canoniche della
circonferenza
Una circonferenza con centro
che non appartiene né all’asse x né all’asse y ha equazione:
x2 + y2 +
ax + by + c = 0
Si noti che i termini di
secondo grado hanno eguale coefficiente e che manca il termine misto xy
Se il centro della
circonferenza coincide col centro degli assi allora è:
x2 + y2 +
c = 0
dove c = – r2
❍ Forme canoniche della parabola
L’equazione della parabola con
asse di simmetria parallelo all’asse y è
[0605021730] y
= ax2 + bx + c
Se a > 0 la concavità è
rivolta verso l’alto; se a < 0 la concavità è rivolta verso il basso.
Se b = 0 l’asse di simmetria
coincide con l’asse y e ha equazione:
y = ax2 + c
Se c = 0 la parabola passa per
l’origine e ha equazione:
y = ax2
Le coordinate del fuoco sono
L’equazione della direttrice è
Le coordinate del vertice sono:
dove
L’equazione ax2 + bx + c = 0 si può
interpretare come equivalente al sistema di equazioni che fornisce i punti in
cui la parabola (se lo fa) interseca l’asse x.
L’equazione di una parabola con
asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse è del tipo:
[0605021730] x
= ay2 + by + c
❍ Forme canoniche dell’ellisse
L’equazione dell’ellisse in
forma normale, con il centro di simmetria coincidente col centro degli assi e
gli assi coincidenti con l’asse x e l’asse y e i fuochi sull’asse x è:
[0605021859]
Dalla formula 0605021859 si
ricava immediatamente che le intersezioni con l’asse x sono ±
a e le intersezioni con l’asse y sono ±
b
❍ Equazione esplicita di una
conica
Tra le coniche solo alcune si
presentano sotto forma di funzione y = f(x) e sono:
▸ Parabola con asse parallelo all’asse y e di
equazione y = ax2 + bx + c
▸ Iperbole equilatera riferita agli asintoti e
di equazione y = k/x con x ≠ 0
Le altre coniche non sono funzioni
di x ma la loro equazione può essere ricondotta alle equazioni di due funzioni
esplicitando la variabile y in funzione appunto di x, fissando opportunamente
il codominio delle due funzioni
Ad
esempio, stabilendo come codominio l’arco di circonferenza maggiore o eguale
all’asse x si ottiene, per una circonferenza con centro all’origine degli assi:
[0605021909]
dalla equazione:
x2 + y2 =
4
Ad esempio, stabilendo come
codominio l’arco di parabola con ordinata maggiore o eguale (parabola con asse
di simmetria coincidente con l’asse x) si ottiene:
[0605021923]
dalla equazione:
x = y2 – 3
Ad esempio, stabilendo come
codominio i due rami di iperbole (iperbole con le concavità rivolte verso le
due direzioni dell’asse x) con ordinate
maggiore o eguale a zero si ottiene:
[0605021925]
dalla equazione:
x2 – y2 = 4
❍ Espressione della distanza di un punto da una retta
Sia data una retta r di
equazione:
ax + by + c = 0
Il segmento PB è eguale a:
PB = y0 – y1
Per ottenere y1 scriviamo
la formula della retta in funzione della x:
[0605011736]
da cui:
[0605011737]
e cioè:
[0605011738]
sostituendo x0 nella
0605011738 si ottiene:
[0605011746]
cosicché si ha:
[0605011739]
la formula 0605011737 della
retta può anche essere scritta come:
[0605011758]
da cui si vede che il
coefficiente angolare della retta è
Il coefficiente angolare non è
altro che la pendenza della retta, e si ha quindi:
[0605011759]
da cui:
[0605011800]
Poiché il triangolo CAB e il
triangolo di lati a, b, sono triangoli simili (essendo entrambi
triangoli rettangoli) sussiste la eguaglianza:
[0605011740]
da cui otteniamo:
[0605011743]
da cui:
[0605011814]
e quindi:
[0605011741]
da cui, perché è d = AP, la
formula della distanza del punto P dalla retta:
[0605011742]
❍ Formule della trasformazione di coordinate mediante
traslazione
Scriviamo l’equazione che si
ottiene eguagliando a zero un polinomio completo di secondo grado:
[0605011655] ax2
+ 2hxy + by2 + 2fx + 2gy + c = 0
Adottiamo un nuovo sistema di
coordinate, spostando l’asse x di una quantità ∆x e l’asse y di una quantità
∆y
Vogliamo
sapere come si modifica l’equazione [0605011655] in modo da rappresentare,
rispetto ai nuovi assi, le coordinate degli stessi punti.
Si può dimostrare che la
trasformazione desiderata si ottiene sostituendo, nella [0605011655] x con x′ –∆x e y con y′ – ∆y
Avremo allora una nuova equazione,
stavolta in x′ e y′, che individuerà
le coordinate nel nuovo sistema x′-y′
Le
formule della trasformazione sono:
[0605012215] x′
= x – ∆x
[0605012215] y′
= y – ∆y
Le formule inverse sono
ovviamente:
[0605012216] x
= x′ + ∆x
[0605012216] y
= y′ + ∆y
❍ Trasformazione di una equazione
di secondo grado a seguito di una traslazione
Scriviamo l’equazione che si
ottiene eguagliando a zero un polinomio completo di secondo grado:
[0605012225] ax2
+ 2hxy + by2 + 2fx + 2gy + c = 0
Se applichiamo la
trasformazione 0605012216 per traslazione alla equazione 0605012225,
per ottenere una equazione che fornisca le coordinate dello stesso luogo
geometrico espresso dalla 0605012050 nel sistema x′-y′ dobbiamo sostituire, nella 0605012225 x e
y mediante le formule 0605012216. In tal modo otteniamo:
[0605012226] a
· (x′ + ∆x) + 2h · (x′ + ∆x) · (y′ + ∆y) +
(y′ + ∆y)2 + 2f · (x′ + ∆x) + 2g · (y′
+ ∆y) + c = 0
Tenendo presente che ∆x
e ∆y
sono rispettivamente le coordinate del nuovo centro degli assi e che possiamo
chiamarle x0 e y0 otteniamo:
[0605012227] a
· (x′ + x0) + 2h · (x′ + x0) · (y′ + y0) + (y′ + y0)2 +
2f · (x′ + x0) + 2g · (y′ + y0) + c = 0
❍ Formule della trasformazione di coordinate mediante
rotazione degli assi
Consideriamo il grafico
sottostante:
Come si vede, l’asse x’
ha equazione:
[0605012005]
e cioè:
[0605012000]
e cioè:
[0605012001]
e cioè, visto che è il coefficiente angolare della retta e che
l’intercetta è eguale a zero:
[0605011919]
e cioè:
[0605011935]
e quindi la distanza PQ, che
rappresenta la nuova ascissa y′ nel sistema x′-y′,
è costituita da:
[0605011922]
da cui, poiché sin2 θ
+ cos2 θ = 1 si ha:
[0605011926]
Come si vede, l’asse y′
ha equazione:
[0605012030]
e cioè:
[0605012031]
e cioè:
[0605012032]
e cioè, visto che è il coefficiente angolare della retta e che
l’intercetta è eguale a zero:
[0605012033]
e cioè:
[0605012034]
e quindi la distanza PQ, che
rappresenta la nuova ascissa y′ nel sistema x′-y′,
è costituita da:
[0605012035]
da cui, poiché sin2 θ
+ cos2 θ = 1 si ha:
[0605012036]
Riepilogando abbiamo quindi le
seguenti equazioni di trasformazione:
[0605012037]
[0605012037]
Per trovare le formule della
trasformazione inversa, dal sistema x′-y′ al sistema x-y è
sufficiente esprimere le 0605012037 in funzione di x e y:
[0605012202]
[0605012203]
da cui:
[0605012204]
da cui:
[0605012205]
da cui:
[0605012206]
da cui:
[0605012207]
da cui:
[0605012208]
Riprendendo dalla 0605012203
otteniamo:
[0605012209]
da cui:
[0605012210]
da cui:
[0605012211]
da cui:
[0605012212]
da cui:
[0605012213]
da cui le formule inverse:
[0605012214]
[0605012214]
❍ Trasformazione di una equazione di secondo grado a
seguito della rotazione degli assi
Scriviamo l’equazione che si
ottiene eguagliando a zero un polinomio completo di secondo grado:
[0605012050] ax2
+ 2hxy + by2 + 2fx + 2gy + c = 0
Se applichiamo la
trasformazione 0605012037 per rotazione alla equazione 0605012050,
per ottenere una equazione che fornisca le coordinate dello stesso luogo
geometrico espresso dalla 0605012050 dobbiamo sostituire, nella 0605012050 x e
y mediante le formule 0605012214. In tal modo otteniamo:
[0605012051] a′x′2
+ 2h′x′y′ + b′y′2 + 2f′x′
+ 2g′y′ + c′ = 0
dove
si ha:
[0605012052] a′
= a · cos2 θ + 2h · sin θ · cos θ + b · sin2
θ
[0605012053] h′
= (b – a) · sin θ · cos θ + h · (cos2 θ – sin2
θ)
[0605012054] b′
= a · sin2 θ – 2h · sin θ · cos θ + b · cos2
θ
[0605012055] f′
= f · cos θ + g · sin θ
[0605012056] g′
= – f · sin θ + g · cos θ
[0605012057] c′
= c
❍ La eliminazione del termine in xy nella equazione di
secondo grado mediante una rotazione degli assi
Scriviamo l’equazione che si
ottiene eguagliando a zero un polinomio completo di secondo grado:
[0605012058] ax2
+ 2hxy + by2 + 2fx + 2gy + c = 0
E’ possibile eliminare il
termine in xy ponendo uguale a zero il relativo coefficiente h dato dalla
0605012053:
[0605012053] h′
= (b – a) sin θ cos θ + h(cos2 θ – sin2 θ)
e
cioè:
[0605012059] (b
– a) sin θ cos θ + h(cos2 θ – sin2 θ)
= 0
Quando b = a questa equazione è
soddisfatta da cos θ
= sin θ
e cioè θ
= 45°
Quando b ≠
a, dividendo la 0605012059 per cos θ si ottiene:
[0605012100]
e cioè, visto che :
[0605012101]
da cui le due soluzioni:
[0605012251]
Dal momento che (b – a)2
+ 4h2 è sempre positivo esistono sempre due soluzioni reali e
distinte.
Abbiamo così dimostrato che è
sempre possibile eliminare il termine in xy della equazione di secondo grado
mediante una opportuna rotazione degli assi.
Per ricavare il valore di cos θ e di sin θ da quello di tan θ consideriamo il seguente grafico:
Abbiamo:
[0605012305]
[0605012306]
[0605012307]
Supponiamo che sia:
tan θ = 2
Allora
si ha:
[0605012308]
Dato che i due triangoli COA e
DOB sono simili si ha:
[0605012310]
e cioè, dato che OA = cos θ e che OB = OC = 1 e che OD = si ha:
[0605012311]
da cui:
[0605012312]
Similmente, sempre per la
similitudine dei triangoli COA e DOB, si ha:
[0605012317]
e cioè, dato che CA = sin θ e che OC = 1 e che DB = tan θ = 2 e che OD = si ha:
[0605012318]
da cui:
[0605012319]